Dr. K. L. Metlov (dr_klm) wrote,
Dr. K. L. Metlov
dr_klm

Category:

додекаэдр

Наиболее близкими к математике обьектами в природе являются кристаллы, атомы которых расположены в (почти) идеальном порядке и потому их (естественная) форма непосредственно отражает симметрию расположения атомов. Справа Вы видите кристалл пирита (сернистого колчедана, FeS2). Говорят, что именно этот кристалл (довольно часто встречающийся) подсказал грекам идею "правильного" додекаэдра. В "Элементах" Эвклида икосаэдр строится на основе додекаэдра, который первичен. Всего, как впервые доказал Теэтет*, выпуклых правильных многогранников пять, но первичны (если дуальные пары считать однажды) только три: тетраэдр (дуален сам себе), куб (дуален октаэдру) и додекаэдр (дуален икосаэдру). Много веков эти многогранники служили основой для целого "математического" мировоззрения, выводящего из них всю природу. Даже Кеплер, в начале пытался постоить теорию орбит, вписывая различные многогранники друг в друга.

В чем-же причина, в чем корень ошибки (хоть и небесплодной ;-) древних геометров и философов начиная с неизвестного первооткрывателя додекаэдра, Теэтета, Эвклида и Платона (и многих математиков поныне) ? Суть, здесь, кроется в стремлении выдать желаемое за действительное. Математика, как кривое зеркало, отражает божественную красоту природы, коверкая и деформируя ее по человеческим канонам. Именно поэтому, с точки зрения человека, математические обьекты божественно правильны и красивы. Математика-же в самой сути своей является самообманом, причем, самообманом, не воспринимающим никаких доводов, кроме (опять-же) математических.

Немного случаев, когда в своем развитии математика новым растущим рогом бьет сама себя в мягкое подбрюшье. ;-) И один из них как раз связан с додекаэдром.

Дело в том, что додекаэдр обладает осью симметрии 5-го порядка. Такая симметрия (как говорит современная математика) не совместима с трансляционной инвариантностью, а значит никакой идеальный кристалл (типа пирита) обладать такой симметрией не может, а потому принципиально (в математическом смысле) не может расти в виде додекаэдра (в отличие от других правильных многогранников). На самом деле, грани пирита всегда являются неправильными пятиугольниками, а кристалл этот имеет тетраэдрическую симметрию. И вот когда-то древний грек посмотрел на божественно правильный кристалл пирита, немного его "исправил", сделав пятиугольники правильными, и получил новый математический обьект -- "додекаэдр". С этого, фактически, начиналась математика...

Но самый крутой парень во всей этой истории -- Теэтет. Он сформулировал такие критерии "правильности", поставил такие жесткие рамки, что "правильных" многогранников оказалось всего (!) пять. Вот это был эстет ! ;-))

* Платон "Теэтет" (комментарий А.Ф. Лосева)

Спасибо aleksei за вопрос о пирите.

update(09/07/2007): ну и немного о квази-кристаллах, раз уж пошли такие серьезные разговоры. ;-) Да, есть в природе одна очень хрупкая "штука", которая "сама" (в очень точно контролируемых условиях) растет в виде додекаэдра.Создатели (видимо в насмешку) назвали эту вещь "квази-кристалл", хотя кристаллом там и не пахнет. Больше всего эта вещь похожа на металлическое стекло, только атомы расположены не в случайных позициях, а в более-менее определенных (но не повторяющихся периодически), расположенных как узлы в покрытии Пенроуза. Сразу оговорюсь, что явно отказывая этой вещи в статусе кристалла, ничуть не хочу принизить ее потенциальную полезность (аморфные металлические стекла, где атомы расположены вообще случайно, вон как полезны оказались, целая индустрия родилась). Просто не кристалл это и все. (дельный обзор квази-кристаллов здесь)
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 21 comments